Critère de Hurwitz. Critères de stabilité de Wald, Hurwitz, Savage

2024 Auteur: Henry Conors | [email protected]. Dernière modifié: 2024-02-12 07:16

L'article traite de concepts tels que les critères de Hurwitz, Savage et Wald. L'accent est surtout mis sur le premier. Le critère de Hurwitz est décrit en détail à la fois d'un point de vue algébrique et du point de vue de la prise de décision dans l'incertitude.

Ça vaut la peine de commencer par une définition de la durabilité. Il caractérise la capacité du système à revenir à l'état d'équilibre après la fin de la perturbation, qui a violé l'équilibre précédemment formé.

Il est important de noter que son adversaire - un système instable - s'éloigne constamment de son état d'équilibre (oscille autour de lui) avec une amplitude de retour.

Critères de durabilité: définition, types

Il s'agit d'un ensemble de règles qui vous permettent de juger les signes existants des racines de l'équation caractéristique sans chercher sa solution. Et ces derniers, à leur tour, offrent l'occasion de juger de la stabilité d'un système particulier.

En règle générale, ce sont:

algebraic (élaboration d'expressions algébriques selon une équation caractéristique spécifique à l'aide derègles qui caractérisent la stabilité de l'ACS);
fréquence (objet d'étude - caractéristiques de fréquence).

Critère de stabilité de Hurwitz d'un point de vue algébrique

C'est un critère algébrique, qui implique la considération d'une certaine équation caractéristique sous la forme d'une forme standard:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0.

En utilisant ses coefficients, la matrice de Hurwitz est formée.

La règle pour compiler la matrice de Hurwitz

Dans le sens de haut en bas, tous les coefficients de l'équation caractéristique correspondante sont écrits dans l'ordre, de aᵥ₋₁ à a0. Dans toutes les colonnes à partir de la diagonale principale, indiquez les coefficients des puissances croissantes de l'opérateur p, puis vers le haut - décroissant. Les éléments manquants sont remplacés par des zéros.

Il est généralement admis que le système est stable lorsque tous les mineurs diagonaux disponibles de la matrice considérée sont positifs. Si le déterminant principal est égal à zéro, alors on peut parler de sa présence sur la frontière de stabilité, et aᵥ=0. Si les autres conditions sont remplies, le système considéré se situe à la frontière d'une nouvelle stabilité apériodique (l'avant-dernière mineure est égale à zéro). Avec une valeur positive des mineurs restants - à la frontière d'une stabilité déjà oscillatoire.

La prise de décision en situation d'incertitude: les critères de Wald, Hurwitz, Savage

Ils sont les critères pour choisir la variante la plus appropriée de la stratégie. Le critère de Savage (Hurwitz, Wald) est utilisé dans des situations où il existe des probabilités a priori incertaines des états de la nature. Leur base est l'analyse de la matrice des risques ou de la matrice des paiements. Si la distribution de probabilité des états futurs est inconnue, toutes les informations disponibles sont réduites à une liste de ses options possibles.

Donc, cela vaut la peine de commencer avec le critère du maximin de Wald. Il agit comme un critère de pessimisme extrême (observateur prudent). Ce critère peut être formé pour les stratégies pures et mixtes.

Il tire son nom de l'hypothèse du statisticien selon laquelle la nature peut réaliser des états dans lesquels la quantité de gain est égale à la plus petite valeur.

Ce critère est identique au critère pessimiste, qui est utilisé au cours de la résolution de jeux matriciels, le plus souvent en stratégies pures. Donc, vous devez d'abord sélectionner la valeur minimale de l'élément de chaque ligne. Ensuite, la stratégie du décideur est sélectionnée, ce qui correspond à l'élément maximum parmi les minimums déjà sélectionnés.

Les options sélectionnées par le critère considéré sont sans risque, puisque le décideur ne fait pas face à un résultat pire que celui qui sert de ligne directrice.

Ainsi, selon le critère de Wald, la stratégie pure est reconnue comme la plus acceptable, puisqu'elle garantit le gain maximum maximum dans les pires conditions.

Ensuite, considérons le critère de Savage. Ici, lors du choix de l'une des solutions disponibles, en pratique, en règle générale, ils s'arrêtent à celle qui entraînera des conséquences minimes dans le cas oùsi le choix s'avère toujours erroné.

Selon ce principe, toute décision se caractérise par un certain nombre de pertes supplémentaires survenant au cours de sa mise en œuvre, par rapport à la bonne dans l'état de nature existant. De toute évidence, la solution correcte ne peut pas entraîner de pertes supplémentaires, c'est pourquoi leur valeur est égale à zéro. Ainsi, la stratégie la plus rapide est celle dans laquelle le montant des pertes est minime dans les pires circonstances.

Critère du pessimisme-optimisme

C'est un autre nom pour le critère de Hurwitz. Dans le processus de choix d'une solution, dans le cadre de l'évaluation de la situation actuelle, au lieu de deux extrêmes, ils adhèrent à la position dite intermédiaire, qui prend en compte la probabilité d'un comportement à la fois favorable et pire de la nature.

Ce compromis a été proposé par Hurwitz. Selon lui, pour toute solution, vous devez définir une combinaison linéaire de min et max, puis choisir une stratégie qui correspond à leur plus grande valeur.

Quand le critère en question est-il justifié ?

Il est conseillé d'utiliser le critère de Hurwitz dans une situation caractérisée par les caractéristiques suivantes:

Il faut prendre en compte le pire des cas.
Manque de connaissances concernant les probabilités des états de la nature.
Prenons un peu de risque.
Un assez petit nombre de solutions sont implémentées.

Conclusion

Enfin, il serait utile de rappeler que l'articleCritères de Hurwitz, Savage et Wald. Le critère de Hurwitz est décrit en détail sous différents points de vue.